Τα Στοιχεία είναι το πιο φημισμένο σύγγραμμα στην ιστορία των μαθηματικών και ένα από τα σπουδαιότερα συγγράμματα της παγκόσμιας γραμματείας. Είναι το έργο που έχει γνωρίσει τις περισσότερες εκδόσεις από κάθε άλλο έργο εκτός από τη Βίβλο, και ένας ολόκληρος κόσμος έμαθε γεωμετρία απ’ αυτό.
Το τέταρτο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη, ένα κείμενο γεωμετρίας 2.300 ετών, περιλαμβάνει οδηγίες για την κατασκευή ενός πολυγώνου 15 πλευρών μέσα σε ένα κύκλο. Το πρώτο βήμα είναι γνωστό στους σπουδαστές γεωμετρίας: Σχεδιάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα κανονικό πεντάγωνο έτσι ώστε οι κορυφές τους να αγγίζουν τον κύκλο και τα δύο σχήματα να μοιράζονται μια κορυφή. Εκτός από τις οδηγίες κειμένου, τα στοιχεία περιλάμβαναν διαγράμματα που απεικόνιζαν τη μέθοδο.
Τα τμήματα γραμμής έχουν σχεδιαστεί και διαγραφούν στο παλαιότερο πλήρες αντίγραφο των στοιχείων,ένα χειρόγραφο του 9ου αιώνα που στεγάζεται στη Βιβλιοθήκη του Βατικανού. Η εικόνα είναι ευγενική προσφορά του τμήματος Online Library of Congress, Εκτυπώσεων και Φωτογραφιών.
Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ποια ήταν τα αρχικά διαγράμματα του Ευκλείδη, αλλά τα σωζόμενα χειρόγραφα αποκαλύπτουν εκπληκτικές παραλλαγές στην αναπαράσταση γεωμετρικών σχημάτων όπως το πεντάκακαγωνο. Στα μοντέρνα μάτια, αυτές οι παραλλαγές μοιάζουν με σφάλματα: Σε ορισμένες μεσαιωνικές εκδοχές του κειμένου, τα τμήματα γραμμής μετρούν το λάθος μήκος. Στο παλαιότερο αντίγραφο των Στοιχείων,ένα χειρόγραφο του 9ου αιώνα που στεγάζεται στη βιβλιοθήκη του Βατικανού, έχουν σχεδιαστεί και διαγραφούν τμήματα. Ένα άλλο κείμενο του 9ου αιώνα στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης παρουσιάζει τις πλευρές του πεντηκεκαγώνου μέσα στον κύκλο ως ακανόνιστες και καμπύλες, όχι ευθείες. Ένα αντίγραφο του 12ου αιώνα στο Παρίσι χρησιμοποιεί επίσης καμπύλες, αλλά είναι ελαφρώς λιγότερο καμπύλες από ό, τι στην παλαιότερη έκδοση στην Οξφόρδη. Στη Βιέννη, μπορεί κανείς να βρει ένα κείμενο από τον 11ο ή τον 12ο αιώνα, στο οποίο οι αρχικές γραμμές είχαν το σωστό μήκος και ευθεία, αλλά κάποιος αργότερα προσέφερε καμπύλα τμήματα ( 1 ).
Τα Στοιχεία παίρνουν μεγάλη προσοχή, αλλά δεν είναι το μοναδικό ιστορικό επιστημονικό κείμενο με αυτά τα διαγραμματικά ζητήματα. Εμφανίζονται σε αντίγραφα έργων του Ibn al-Haytham, του Αρχιμήδη, του Αριστοτέλη και του Πτολεμαίου. Οι παραλλαγές περιλαμβάνουν παράλληλες γραμμές που δεν είναι, λανθασμένες μορφές, ίσες γραμμές ή γωνίες που λαμβάνονται άνισα, ή άνισες γωνίες που μπορεί να εμφανίζονται ως αντίστοιχες. Ένα χειρόγραφο του 10ου αιώνα του Αρχιμήδη Παλιμψέστ χρησιμοποιεί ένα ισοσκελές τρίγωνο για να αντιπροσωπεύει μια παραβολή, για παράδειγμα. Αυτά μπορεί να μοιάζουν λίγο περισσότερο από τις ιδιορρυθμίες της ιστορίας, αλλά μερικοί ερευνητές βλέπουν ενδιαφέρουσες ενδείξεις μεταξύ των σχεδίων, υποδηλώνουν πως τα μαθηματικά εξελίχθηκαν για χιλιετίες.
Επόμενη ενότητα
Φαντάσου αυτό
Οι ερευνητές αρχίζουν να μελετούν αυτές τις παραλλαγές για να διερευνήσουν πώς εξελίχθηκαν οι μαθηματικές ιδέες και να αποκτήσουν γνώσεις σχετικά με το πώς οι διαφορετικοί λαοί πλησίασαν το θέμα. Παραδοσιακά, οι ιστορικοί μαθηματικών που μελετούν τα αρχαία ελληνικά κείμενα επικεντρώθηκαν στις λέξεις και τους αριθμούς, απορρίπτοντας τα διαγράμματα ως απλές απεικονίσεις του κειμένου. Αυτή η εστίαση παραλείπει μέρος της ιστορίας και της ιστορίας, υποστηρίζει ο μαθητής και ο ιστορικός της επιστήμης Nathan Sidoli στο πανεπιστήμιο Waseda του Τόκιο ο οποίος, μαζί με τον συνεργάτη του Ken Saito στο Πανεπιστήμιο του Νομαρχιακού θεάτρου της Οζάκας, παρατήρησε σε ένα δοκίμιο του 2012 τις διαγραμματικές αλλαγές στο πεντάδεκαγωνάκι και άλλες αποδείξεις ( 1 ).
Το μαθηματικό είναι πλούσιο σε αφαίρεση και με την πάροδο του χρόνου οι άνθρωποι έχουν βρει διάφορους τρόπους για να απεικονίσουν αυτές τις αφαίρεσεις. "Από νεαρή ηλικία, είμαστε εκπαιδευμένοι να κατανοήσουμε τις γενικότητες με ορισμένους οπτικούς τρόπους", λέει ο Sidoli. «Με το να δούμε αυτά τα πράγματα μπορούμε να θυμηθούμε ότι δεν είναι καθολικοί τρόποι να δουν».
Τα διαγράμματα αποτελούν μέρος των μαθηματικών για χιλιάδες χρόνια ανθρώπινης ιστορίας. Οι Βαβυλώνιοι υπολογίζουν τις τετραγωνικές ρίζες και γνώριζαν την αρχή του Πυθαγορείου Θεωρήματος περισσότερο από χίλια χρόνια πριν την εποχή του Πυθαγόρα ή του Ευκλείδη. Τα αποδεικτικά στοιχεία έρχονται με τη μορφή δισκίου αργίλου από τον 17ο αιώνα π.Χ., που δείχνει ένα γεωμετρικό διάγραμμα ενός τετραγώνου και των διαγωνίων του μαζί με τους αντίστοιχους αριθμούς. Ο πρωτοπόρος της απεικόνισης δεδομένων Edward Tufte, επίμονος καθηγητής πολιτικών επιστημών, πληροφορικής και στατιστικών στο Yale, καλεί την ταμπλέτα ως «γραφική μαρτυρία» στη γνώση των Βαβυλωνίων.
Μερικοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι τα διαγράμματα μπορούν να αποτελέσουν αναπόσπαστο κομμάτι των μαθηματικών και είναι αγγελιοφόροι σε όλες τις χρονικές περιόδους. Εάν ένα σφάλμα που προέρχεται από ένα αντίγραφο διαδίδεται μέσω μελλοντικών εκδόσεων, μπορεί να δείξει ότι οι αντιγραφείς δεν κατάλαβαν τα μαθηματικά ή δεν εκτιμούσαν την ακρίβεια. Από την άλλη πλευρά, μερικοί μελετητές χρησιμοποίησαν διαγράμματα για να προσθέσουν στη γνώση στα Στοιχεία. Όπου το Euclid μπορεί να έχει περιγράψει αρχικά τις ιδιότητες μιας οξείας γωνίας, για παράδειγμα, ένας αργότερος χαρακτήρας θα μπορούσε να έχει προστεθεί παρόμοιες ιδιότητες για αμβλεία και ορθή γωνία, επίσης.
Αυτό το κομμάτι των Στοιχείων ήταν μέρος του Oxyrhynchus Papyri, μιας ομάδας χειρογράφων που ανακαλύφθηκε το 1897 σε μια αρχαία χωματερή σκουπιδιών κοντά στο Oxyrhynchus της Αιγύπτου. Περίπου 2000 ετών, το κείμενο αναφέρει την πέμπτη πρόταση του Βιβλίου 2 των Στοιχείων . Η εικόνα προσφέρθηκε από τον Bill Casselman (Πανεπιστήμιο της Βρετανικής Κολομβίας, Βανκούβερ).
Προηγούμενο τμήμαΕπόμενη ενότητα
Η παρέμβαση του αναγνώστη
Τα Στοιχεία, που περιέχει 13 τόμους, έχουν εμφανιστεί σε τουλάχιστον εκατοντάδες εκδόσεις και μέχρι τον περασμένο αιώνα ήταν το δεύτερο βιβλίο με τις καλύτερες πωλήσεις στον κόσμο. (Η Βίβλος ήταν η πρώτη.) Αλλά δεν τα πάντα στα Στοιχεία προήλθαν από τον Ευκλείδη. Οι τόμοι αντιπροσωπεύουν μια συλλογή γνώσης των μαθηματικών γνωστή στους Έλληνες εκείνη την εποχή. Ο φυσικός Stephen Hawking περιέγραψε τον Euclid ως «τον σπουδαιότερο μαθηματικό εγκυκλοπαιδαγωγό όλων των εποχών», τον παρομοιάζοντας με τον Noah Webster, ο οποίος συγκέντρωσε το πρώτο αγγλικό λεξικό ( 2 ).
Τα Στοιχεία μεταφράστηκαν από Ελληνικά, Αραβικά, Λατινικά, Εβραϊκά και άλλες γλώσσες. Η πραγματεία εξελίχθηκε καθώς μεγάλωσε και μετανάστευσε - όπως και τα διαγράμματα. Οι αναγνώστες έκαναν σημειώσεις στα περιθώρια και εισήγαγαν αλλαγές. Οι μεταγενέστεροι αναγνώστες και μεταφραστές είδαν τόσο το χειρόγραφο όσο και τις προσθήκες και πραγματοποίησαν αναθεωρήσεις που φαινόταν κατάλληλες για το χρόνο τους. Αυτές οι αλληλεπιδράσεις καταγράφονται στις μεταγραφές των αποδείξεων και των διαγραμμάτων στα στοιχεία και η πράξη της αντιγραφής έγινε πράξη μετασχηματισμού, λέει ο Eunsoo Lee, διδακτορικός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, που μελετά την εξέλιξη των διαγραμμάτων με την πάροδο του χρόνου στα στοιχεία.
"Μπορούμε εύκολα να ξεχάσουμε το ρόλο των αναγνωστών στην κατασκευή διαγραμμάτων", λέει ο Lee, σημειώνοντας ότι θα μπορούσαν να παρεμβαίνουν ή να αναμιγνύονται επισημαίνοντας το χειρόγραφο. Αργότερα, οι γραμματείς έλαβαν υπόψη αυτές τις σημειώσεις. "Αν προσδιορίσουν ότι τα οριακά διαγράμματα είναι ανώτερα των κύριων διαγραμμάτων", εξηγεί ο Lee, "τα οριακά διαγράμματα υιοθετήθηκαν ως τα κύρια διαγράμματα για τις επόμενες γενιές." Αυτές οι οπτικές αλλαγές μεταβίβαζαν τις μαθηματικές ιδέες με τρόπους που δεν μπορούσαν να μεταδοθούν μέσω κειμένου.
Είναι πολύ απλοϊκή η κλήση αυτών των σφαλμάτων αλλαγών. Ορισμένες από τις αλλαγές ενδέχεται να είχαν ως προορισμό βελτιώσεις. άλλοι προέκυψαν από πολιτιστικές πρακτικές. Το αραβικό κείμενο διαβάζεται δεξιά προς τα αριστερά, για παράδειγμα, έτσι στις πρώτες αραβικές εκδόσεις των Στοιχείων οι προσανατολισμοί των διαγραμμάτων του ήταν συχνά γυρισμένοι-γωνίες που ανοίγουν προς τα αριστερά στα αρχαία ελληνικά χειρόγραφα που άνοιξαν στα δεξιά στις αραβικές εκδόσεις. Ωστόσο, όταν αυτές οι αραβικές εκδόσεις μεταφράστηκαν στα λατινικά, μερικοί γραφοί δεν γύρισαν τα διαγράμματα πίσω.
Ο μαθηματικός Robin Hartshorne, συνταξιούχος από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, Berkeley, υποστηρίζει περαιτέρω ότι δεν είναι απαραίτητα δίκαιο να βλέπουμε την αλλαγή των διαγραμμάτων ως διορθωτική διαδικασία. Ακόμη και με καμπύλες και διαγραφές, αυτά τα διαγράμματα πεντάδεκαγώνων πήραν το σημείο. Η εκτύπωση των Στοιχείων με ακριβή διαγράμματα αντικατοπτρίζει τις αξίες ενός χρόνου, λέει, αλλά είναι μια πρακτική ανύπαρκτη σε προηγούμενες εκδόσεις. "Θα το αποκαλούσα ξαναδιαμορφώνοντας το διάγραμμα στη γεύση των σύγχρονων μαθηματικών που επιθυμούν να δουν την μετρική ακρίβεια", λέει ο Hartshorne.
"Πρόκειται για χειρόγραφα διαγράμματα για πράγματα που δεν είναι απαραίτητα εύκολο να αναπαρασταθούν", προσθέτει ο ιστορικός της επιστήμης Courtney Roby, που μελετά αρχαία επιστημονικά κείμενα στο Πανεπιστήμιο Cornell, στην Ιθάκη της Νέας Υόρκης. "Τα διαγράμματα είναι οι δημιουργίες των μεμονωμένων συγγραφέων και των γραμματείων, και η δημιουργικότητά τους, ο πειραματισμός και η αλλαγή."
Προηγούμενο τμήμαΕπόμενη ενότητα
Μια στοιχειακή εξέλιξη
Ο Lee επικεντρώνεται σε χειρόγραφα από τον ένατο αιώνα μέσω της πρώτης έντυπης έκδοσης των Στοιχείων, η οποία εμφανίστηκε το 1482 με την έλευση του τυπογραφείου. Από εκείνη την εποχή, λέει ο Lee, τα στοιχείαέγιναν ένα πρότυπο βιβλίο σε πολλά ευρωπαϊκά πανεπιστήμια και τα διαγράμματα του έγιναν εργαλεία διδασκαλίας. Ως αποτέλεσμα, "βρίσκετε εντελώς διαφορετικά σχήματα διαγραμμάτων στην εποχή της εκτύπωσης", λέει ο Lee, ο οποίος ψηφιοποιεί μια συλλογή που περιλαμβάνει τουλάχιστον 5 παπύρους, 32 χειρόγραφα Geek, 92 μεταφρασμένα χειρόγραφα και 32 έντυπες εκδόσεις των στοιχείων .
Μέχρι τον 19ο αιώνα, η πραγματεία του Ευκλείδη κρατήθηκε ως το μοντέλο αυστηρών, δομημένων μαθηματικών επιχειρημάτων. Αυτά τα επιχειρήματα απαιτούσαν σχέδια για να έχουν νόημα. «Δεν λειτουργούν χωρίς τα διαγράμματα», λέει ο φιλόσοφος John Mumma στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, San Bernardino, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι τα διαγράμματα στα Στοιχεία είναι κάτι περισσότερο από απλά διδακτικά οπτικά και ότι εξυπηρετούν έναν σημαντικό ρόλο μέσα στο επιχείρημα της η ίδια η απόδειξη ( 3 )
Στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα, οι μαθηματικοί αμφισβήτησαν την υπεροχή των Στοιχείων εν μέρει λόγω της εξάρτησης του Ευκλείδη από τα διαγράμματα. Ο γερμανός μαθηματικός David Hilbert συγκεκριμένα ζήτησε μια πιο επίσημη προσέγγιση στα μαθηματικά που χρησιμοποίησε τη λογική μόνη της και δεν απαιτούσε διαγράμματα στις αποδείξεις και τις αλήθειες της, τις οποίες θεωρούσε ως ένα είδος μαθηματικού δεκανίκι.
"Τα στοιχεία του Ευκλείδη απολύθηκαν ως μη αυστηρά", λέει η Mumma. "Θεωρήθηκε ότι χρησιμοποιεί διαγράμματα σε ένα είδος διαισθητικού, ανοικτού τύπου".
Για παράδειγμα, όταν ένα διάγραμμα στα Στοιχεία μπορεί να δείξει ένα σημείο σε μια γραμμή μεταξύ δύο άλλων σημείων, ο Χίλμπερτ ήθελε μια αναλυτική περιγραφή αυτού που αποκαλούσε «αλληλεγγύη», χωρίς να βασίζεται σε ένα σκίτσο. Ο Βρετανός φιλόσοφος και λογικός Bertrand Russell επέκρινε επίσης την προσέγγιση του Ευκλείδη, σημειώνοντας ότι πολλά από τα ελληνικά αποδεικτικά στοιχεία ήταν αδύναμα επειδή αντλούν τη λογική τους εξουσία από διαγράμματα και όχι μόνο από τη λογική. "Μια έγκυρη απόδειξη διατηρεί την επιδεικτική της δύναμη όταν δεν έχει σχεδιαστεί καμία εικόνα, αλλά πολλές από τις προηγούμενες αποδείξεις του Euclid αποτυγχάνουν πριν από αυτό το τεστ", έγραψε ο Russell το 1902 ( 4 ). (Η πρώτη απόδειξη στα Στοιχείαδείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο χρησιμοποιώντας δύο διασταυρούμενους κύκλους. Ωστόσο, βασίζεται στο διάγραμμα για να δικαιολογήσει το σημείο διασταύρωσης - αντί να αποδεικνύει αυστηρά την ύπαρξή του.)
Πολλοί σύγχρονοι ιστορικοί των μαθηματικών, ωστόσο, θεωρούν τώρα την προσέγγιση του Ευκλείδη ως έναν άλλο τρόπο να δούμε μαθηματικά - ένα που δεν είναι απαραιτήτως αδύναμο μόνο και μόνο επειδή χρησιμοποιεί διαγράμματα. Αυτοί οι μελετητές υποστηρίζουν ότι το διάγραμμα κάνει την απόδειξη και δεν υπάρχει καθολικός τρόπος κατανόησης των μαθηματικών. "Μπορείτε πραγματικά να καταστήσετε σαφές, ακριβώς ποιες πληροφορίες το διάγραμμα κρατάει για το επιχείρημα", λέει η Mumma. "Δεν είναι μόνο μια εικόνα."
Η σύγχρονη έρευνα που επικεντρώθηκε στα διαγράμματα άρχισε σε μεγάλο βαθμό στη δεκαετία του 1990, όταν ο Reviel Netz στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ και ο Kenneth Manders στο Πανεπιστήμιο του Πίτσμπουργκ στην Πενσυλβάνια άρχισαν να υποστηρίζουν ότι τα αρχαία μαθηματικά διαγράμματα αξίζουν μια άλλη ματιά. Ο Netz λέει ότι το πεδίο επικεντρώθηκε σε δύο πτυχές: τα ίδια τα γραφικά και τον τρόπο με τον οποίο τα χρησιμοποιούσαν οι άνθρωποι ( 5 , 6 ). Λέει το έργο του Lee στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, συγκρίνοντας τα διαγράμματα μεταξύ των αιώνων, φέρνει μαζί τις δύο αυτές περιοχές για να προωθήσει το πεδίο.
"Είναι ο πρώτος άνθρωπος που κάνει ταυτόχρονα και τα δύο", λέει ο Netz, ο οποίος είναι επίσης σύμβουλος του Lee. Ο Netz λέει ότι το έργο του Lee θα βοηθήσει τους ιστορικούς να καταλάβουν πώς «η επιστήμη στρέφεται μακριά από τη θεωρητική γεωμετρία των Ελλήνων σε ... πιο εφαρμοσμένες και φυσικές χρήσεις της γεωμετρίας για τον πραγματικό κόσμο».
Μετά την Στοιχείων, Lee θέλει να αναλύσει τα διαγράμματα στο Ευκλείδη Optics νωρίς πραγματεία -ένα για τη φυσική του φωτός και στη συνέχεια να επικεντρωθεί σε έργα του Πτολεμαίου και του Αρχιμήδη. Λέει ότι ελπίζει ότι η έρευνά του υποκινεί το ενδιαφέρον των ιστορικών, φιλοσόφων και μαθηματικών για την ανάλυση του τρόπου με τον οποίο οι άνθρωποι έχουν χρησιμοποιήσει διαγράμματα - και ακόμα κάνουν - για να διερευνήσουν βαθιές ιδέες στα μαθηματικά. «Έχουμε την τάση να τα σκεφτόμαστε ως πράγματα που μπορούν να απομακρυνθούν», λέει. "Αλλά ορισμένες ιδέες δεν μπορούν να μεταφερθούν με κείμενο. Πρέπει να μεταφερθούν με διαγράμματα. "
COMMENTS